Distance

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La distance exprime la proximité ou lejanía entre deux objets, ou l'intervalle de temps que passe entre deux événements. il aussi s'emploie comme expression pour indiquer une relation d'éloignement affectif entre deux personnes: le desafecto.

Plat de Manhattan. La distance euclidiana (segment vert), ne se correspond pas avec le «chemin le plus court» organisme deux points de dite ville, outre n'être unique.

La moindre distance entre deux points parcourue sur la surface d'une sphère est un arc de cercle maximal: la ortodrómica.

En mathématique, la distance entre deux points du espace euclídeo équivaut à la longueur du segment de ligne droite que les unit, exprimé numéricamente. En des espaces plus complexes, comme les définis en la geometría n'euclidiana, le «chemin le plus court» entre deux points est un segment de courbe.

En physicienne, la distance est une grandeur escalader, qu'il s'exprime en des unités de longueur ou temps.

Sommaire

1 Distance en geometría
2 Définition formelle
- 2.1 Distance d'un point à un ensemble
- 2.2 Distance entre deux ensembles
3 Voyez-vous aussi

Distance en geometría

Il se dénomme distance euclídea entre deux points Erreur math (erreur lexicale): À(x_1, et_1)

et  $B (x 2, e t 2)$  du plan à la longueur du segment de ligne droite qu'a par des bouts Erreur math (erreur lexicale): À
et  $B$ . Il peut se calculer j'ai pris:

$D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(et_2-et_1)^2}$

La distance entre un point $P$ et une ligne droite $R$ est la longueur du segment de ligne droite qu'est perpendicular à la ligne droite $R : A x + B y + C = 0$ et l'unit au point $P (x 1, e t 1)$ . Il peut se calculer j'ai pris:

Erreur math (erreur lexicale): D=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{À^2+B^2}}

Où |·| il dénote valeur absolue.

La distance entre deux lignes droites parallèles est la longueur du segment de ligne droite perpendicular à toutes les deux que les unit.

La distance entre un point $P$ et un plat $L$ est la longueur du segment de ligne droite perpendicular au plan $L : A x + B y + C z + D = 0$ que l'unit au point P (x₁,et₁,z₁) et peut se calculer j'ai pris:

Erreur math (erreur lexicale): D=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{À^2+B^2+C^2}}

Définition formelle

Depuis un point de vue formelle, pour un ensemble d'éléments $X$ se définit distance ou métrique comme n'importe quelle fonction binaria Erreur math (erreur lexicale): d(à,b)

de  en  que vérifie les suivantes conditions:

Ne negatividad: Erreur math (erreur lexicale): d(à,b)\ge 0 \ \forall à,b \in X

Simetría: Erreur math (erreur lexicale): d(à,b)=d(b,à) \ \forall à,b \in X

Inégalité triangular: Erreur math (erreur lexicale): d(à,b) \lui d (à,c) + d (c,b) \ \forall à,b,c \in X

$\forall x \in X : d(x,x)=0$ .
Si $x,et \in X$ sont tels que $d (x, e t) = 0$ , alors $x = e t$ .

Si nous laissons d'exiger qu'il s'accomplisse cette dernière condition, au concept résultant se lui dénomme pseudodistancia ou pseudométrica.

La distance est le concept fondamental de la Topología d'Espaces Métricos. Un espace métrico n'est pas une autre chose qu'une paire $(X, d)$ , où $X$ est un ensemble dans lequel nous définissons une distance $d$ .

Dans le cas où nous eussions une paire $(X, d)$ et $d$ fût une pseudodistancia sur $X$ , alors dirions que nous avons un espace pseudométrico.

Si $(X, d)$ est un espace métrico et $Et \subset X$ , pouvons restreindre $d$ à $E t$ de la suivante forme: $d': Et \times Et \longrightarrow \mathbb{R}$ de sorte que si $x,et \in Et$ alors $d'(x, e t) = d (x, e t)$ (c'est-à-dire, $d'=d|_{Et \times Et}$ ). L'application $d'$ est aussi une distance sur $d$ , et comme partage sur $Et \times Et$ les mêmes valeurs que $d$ , se dénote aussi de la même façon, c'est-à-dire, nous dirons que $(E t, d)$ est subespacio métrico de $(X, d)$ .

Distance d'un point à un ensemble

Si $(X, d)$ est un espace métrico, $Et \subset X$ , $Et \ne \varnothing$ et $x \in X$ , pouvons définir la distance du point $x$ à l'ensemble $E t$ de la suivante façon: $d(x,Et):= inf \{d(x,et): et \in Et\}$ .

Il est de souligner les suivantes trois choses:

En premier lieu, dans les conditions données, toujours existera cette distance, donc $d$ a par domination $X \times X$ , donc pour n'importe quel $et \in Et$ existera une unique valeur réelle positif $d (x, e t)$ . Par la completitud de $\mathbb{R}$ et comme l'image de d est bornée inferiormente par 0, reste garantie l'existence de l'ínfimo de cet ensemble, ceci est, la distance du point à l'ensemble.

Si $x \in Et$ alors $d (x, E t) = 0$ .

Peut être que $d (x, E t) = 0$ mais $x \notin Et$ , par exemple si $x$ est un point d'adhérence de $E t$ . En fait, la clôture de $E t$ est précisément l'ensemble des points de $X$ qu'ont distance 0 à $E t$ .

Les cas de distance d'un point à une ligne droite ou de distance d'un point à un plan ne sont pas plus que cas particuliers de la distance d'un point à un ensemble, lorsqu'il s'envisage la distance euclídea.

Distance entre deux ensembles

Si $(X, d)$ est un espace métrico, $À \subset X$ et $B \subset X$ , Erreur math (erreur lexicale): À \ne \varnothing , $B \ne \varnothing$ , pouvons définir la distance entre les ensembles Erreur math (erreur lexicale): À

et  $B$  de la suivante façon: Erreur math (erreur lexicale): d(À,B):= inf \{d(x,et): x \in À, et \in B\}

Par la même raison qu'avant, toujours est définie. En plus Erreur math (erreur lexicale): d(À,À)=0 , mais peut arriver que Erreur math (erreur lexicale): d(À,B)=0

et pourtant Erreur math (erreur lexicale): À \ne B

. Il est plus, nous pouvons avoir deux ensembles fermés dont la distance soit 0 et pourtant soyez disjuntos, et même qu'aient des clôtures disjuntas. Par exemple, l'ensemble Erreur math (erreur lexicale): À:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}

et l'ensemble . D'une part, Erreur math (erreur lexicale): À=cl(À)

, $B = c l (B)$ et Erreur math (erreur lexicale): À \cap B = \varnothing , et par autrui Erreur math (erreur lexicale): d(À,B)=1 .

La distance entre deux lignes droites, la distance entre deux plans, etc. ils ne sont pas plus que cas particuliers de la distance entre deux ensembles lorsqu'il s'envisage la distance euclídea.

Voyez-vous aussi

Distance de Mahalanobis
Méthode des Cuadrantes Centrés dans un Point ou Metodo distance en point.ckb:مەوداdonne:Afstandsformlenallez:Jarakj'ai vu:Khoảng cách

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