Nombre naturel

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Un nombre naturel est n'importe qui des nombres que s'usent pour raconter les éléments d'un ensemble (le zéro est le nombre d'éléments du ensemble vide). Ils reçoivent ce nom parce qu'ils ont été les premiers qu'il a utilisé l'être humain pour raconter objets.

Quelques mathématiques (spécialement les de Théorie de Nombres) préfèrent ne reconnaître le zéro (0) comme un nombre naturel; autrui, spécialement les de Théorie d'ensembles, Logique et Informatique, ils soutiennent la position opposée.

Sommaire 1 Définitions 2 Histoire 3 Définitions axiomáticas 3.1 Axiomas De Peano 3.2 Définition en théorie d'ensembles 4 Opérations avec les nombres naturels 5 Propriétés des nombres naturels 6 Usage des nombres naturels 7 Tu indexes 7.1 des Notes 7.2 Bibliografía 8 Voyez-vous aussi

Définitions

• La Réelle Académie Espagnole les définit comme "Chacun des éléments de la succession 0, 1, 2, 3..." ^[1]
• Est l'ensemble des nombres entiers ne négatifs.
• Un nombre est un symbole qui indique une quantité

. L'ensemble des nombres naturels se représente par et correspond au suivant ensemble numérique:

Les nombres naturels sont un ensemble fermé pour les opérations de l'addition et la multiplication, puisque à l'opérer avec n'importe qui de ses éléments, il résulte toujours un nombre appartenant à .

Histoire

Avant qu'ils surgissent les nombres pour la représentation de quantités, l'être humain a usé autres méthodes pour raconter, en utilisant pour cela objets comme pierres, palitos de bois, noeuds de cordes, ou simplement les doigts. il plus avance ils ont commencé à apparaître les symboles graphiques comme des signaux pour raconter, par exemple tu marques en une vara ou simplement traits spécifiques sur le sable. Mais il est allé en Mésopotamie autour de l'an 4.000 à. C. Où ils apparaissent les premiers vestiges des nombres qu'ont consisté à enregistrés de signaux en des formes de cales sur des petits échiquiers de argile en employant pour cela un palito aguzado. D'ici le nom de écriture cuneiforme. Ce système de numeración a été adopté plus tard, bien que avec symboles graphiques différents, en la la Grèce Antigua et en la Antigua Rome. En la la Grèce ancienne ils s'employaient simplement les lettres de son alphabet, alors qu'en l'ancienne Rome outre les lettres, ils s'ont utilisés quelques symboles.

Qui a placé à l'ensemble des nombres naturels sur ce que commençait à être une base solide, est allé Richard Dedekind dans le siècle XIX. Celui-ci les a dérivé d'une série de postulados (ce que impliquait que l'existence de l'ensemble de nombres naturels se donnait par certaine), qu'il a après précisé Peano dedans d'une logique de deuxième ordre, en résultant ainsi les fameux cinq postulados que portent son nom. Frege A été supérieur à tous les deux, en démontrant l'existence du système de nombres naturels en partant de principes plus forts. Lamentablement la théorie de Frege a perdu, pour ainsi dire, sa crédibilité et il a eu que chercher un nouveau méthode. Il a été Zermelo qui a démontré l'existence du ensemble de nombres naturels, dedans de sa théorie d'ensembles et principalement moyennant l'usage du axioma d'infinitud que, avec une modification de cette faite par Adolf Fraenkel, permet bâtir l'ensemble de nombres naturels comme ordinalest selon von Neumann.

Définitions axiomáticas

Historiquement, ils se sont réalisé propositions pour axiomatizar la notion habituelle de nombres naturels, d'entre lesquelles soulignent les de Peano et la construction à partir de la théorie d'ensembles.

Axiomas De Peano

Les axiomas de Peano régissent il la structure des nombres naturels sans besoin d'une autre théorie (par exemple, la de conjoints) ni des notions arithmétiques de somme ou equivalencia. Il requiert, cela oui, de la notion préalable de successeur. Les cinq axiomas de Peano sont:

1. Le 1 est un nombre naturel.
2. Si n est un nombre naturel, alors le successeur de n aussi est un nombre naturel.
3. Le 1 n'est pas le successeur d'aucun nombre naturel.
4. Si il y a deux nombres naturels n et m avec le même successeur, alors n et m sont le même nombre naturel.
5. Si le 1 appartient à un ensemble, et donné un nombre naturel n'importe qui, le successeur de ce nombre aussi appartient à ce ensemble, alors tous les nombres naturels ils appartiennent à ce ensemble. Celui-ci est l'axioma d'induction, que capture l'idée de induction mathématique.

Définition en théorie d'ensembles

En théorie d'ensembles se définit à l'ensemble des nombres naturels comme le minimum conjoint qu'est inductivo. L'idée est qu'il se puisse raconter en faisant une biyección depuis un nombre naturel jusqu'à l'ensemble d'objets que se veut raconter. C'est-à-dire, pour donner la définition de nombre 2, se requiert donner un exemple d'un ensemble que contienne précisément deux éléments. Cette définition a été fournie par Bertrand Russell, et plus tard simplifiée par Von Neumann qui a proposé que le candidat pour 2 fût l'ensemble qui contient seulement à 1 et à 0.

Formellement, un ensemble x se dit qu'il est un nombre naturel si il accomplit

1. Pour chaque ,
2. La relation Erreur math (erreur lexicale): \in _x = \left\{\left(à,b\right)\in x\times x \mid à\in b\right\}

est un ordre total strict en x

1. Tout subconjunto ne vide de x a des éléments minime et maximum dans l'ordre

Il s'essaie donc, définir un ensemble de nombres naturels où chaque élément il respecte les conventions antérieures. il d'abord se cherche un ensemble qu'il soit le représentant du 0, ce que est facile puisque nous savons que ne contient pas des éléments. ils après se définissent les suivants éléments d'une façon ingénieuse avec l'usage du concept de successeur.

Il se définit alors que l'ensemble vide est un nombre naturel qui se dénote par 0 et que chaque nombre naturel n a un successeur dénoté comme n ⁺ . Ces idées restent formalisées moyennant les suivantes expressions:

De cette façon, chaque élément de quelque nombre naturel est un nombre naturel; à savoir, un antecesor d'il. Par exemple:

• Par définition 0 = {} (ce que renforce le fait de que 0 il n'a pas antecesores)
• 1 est le successeur de 0, alors
• 2 est le successeur de 1, mais 1 est {0}, alors
• et en général

Ceci permet établir une relation d'ordre entre les éléments de l'ensemble malgré le fait qu'un ensemble est par nature un ajouté d'éléments désordonnés. Il se définit cette relation moyennant l'expression

Erreur math (erreur lexicale): à\leq b \iff à\subseteq b

C'est-à-dire qu'un nombre Erreur math (erreur lexicale): à

est moindre ou pareil que b si et seulement si b contient à tous les éléments de Erreur math (erreur lexicale): à

.

il aussi se peut user une autre définition une autre plus immédiate à partir du fait de que chaque nombre naturel figure de ses antecesores. Ainsi Erreur math (erreur lexicale): à<b\,

si et seulement si Erreur math (erreur lexicale): à\in b

.

Celle-là est la construction formel des naturels que garantit son existence comme ensemble à la lumière du développement axiomático Zermelo-Fraenkel. Le postulado des ensembles infinis assure la validité de la technicienne de démonstration connue comme induction mathématique.

Un teorema démontre que n'importe quel ensemble qui soit inductivo contient à tous les nombres naturels, c'est-à-dire que si Erreur math (erreur lexicale): À

est un ensemble inductivo, alors Erreur math (erreur lexicale): \mathbb{N}\subseteq À

. Ceci signifie que, certes, est le minimum conjoint inductivo.

Il se définit la somme par induction moyennant:

Erreur math (erreur lexicale): à+0 = à \,

Erreur math (erreur lexicale): à+b^+=(à+b)^+ \,

Ce que convertit aux nombres naturels en un monoide conmutativo avec élément neutro 0, l'appelé Monoide Libre avec un générateur. Ce monoide satisfait la propriété cancelativa et donc peut se comprendre dans un groupe mathématique. Le moindre groupe qui contient aux naturels il est le de les nombres entiers.

De façon analogue, la multiplication × se définit moyennant les expressions

Erreur math (erreur lexicale): à\times 0 = 0

Erreur math (erreur lexicale): à\times b^+=(à\times b)+à

Ceci convertit (ceci est, ℕ avec cette nouvelle opération), en un monoide conmutativo.

Une autre forme de construction de est la suivante: Soyez la classe de tous les ensembles et définirons une relation binaria R "être equipotente" de la suivante façon Donnés À et B∈ se dit que À R B Existe une application biyectiva de À sur B,c'est-à-dire,existe Erreur math (erreur lexicale): f \colon À \to B \,

biyectiva. 

il clairement se peut démontrer que cette relation vérifie les propriétés reflexiva,symétrique et transitiva après est une relation d'equivalencia à l'ensemble cociente Erreur math (erreur lexicale): \mathbb{F}/R\ = \{ [À] / À\in \mathbb{F} \} les appellerons cardinales et aux cardinales finitos se leur appellera des nombres naturels.Les opérations de somme et produit de cardinales se définissent comme le cardinal de l'union et le produit cartesiano des conjoints représentants et vérifie toutes les propriétés pour que soyez un semianillo conmutativo et unitario.

Opérations avec les nombres naturels

Les opérations mathématiques sont des actions de relation qu'ils permettent aux êtres humains convenir des procès culturels de lecture symbolique, qu'ils se peuvent réaliser avec un déterminé ensemble numérique. Les ensembles númericos sont des espaces en lesquels les opérations peuvent se faire avec des éléments de dits ensembles et donner comme résultat de l'action éléments qui peuvent il être dedans ou en dehors d'ils, Si l'opération son résultat toujours donne des éléments de l'ensemble numérique se dit que l'espace est fermé pour dite opération, si le résultat quelques fois donne des éléments de l'ensemble et autres fois ne, il se dit que l'espace est ouvert pour dite opération.

De là qu'il se peut dire que les opérations dans les nombres naturels sont: l'addition dont le résultat est la somme (opération fermée, constructrice de linealidad), la soustraction dont le résultat est différence ou soustrait (opération ouverte deconstructora de la linealidad), la multiplication dont le résultat reçoit le nom de produit (opération fermée, constructrice d'ortogonalidad (angle droit)), la division dont le résultat est le cociente (opération ouverte de double nature deconstructora de l'ortogonalidad (desarma à l'angle droit), ou comme raison de changement), la potenciación dont le résultat est puissance (opération fermée, constructrice d'objets géométriques "parfaits"), radicación dont le résultat est raiz (opération ouverte, deconstructora d'objets geométricamente parfaits) et la logaritmación (opération ouverte, de possibles propriétés dimensionales des objets geometricos).

Il est ainsi que les opérations restent établies pour sa reconnaissance géométrique comme des constructrices, deconstructoras et de propriétés dimensionales des objets géométriques. Il est ainsi qu'il se peut dire que:

La soustraction est l'opération inverse à l'addition de la même façon que la division est l'inverse de la multiplications, c'est-à-dire,

Si à+b = c, alors b = c - à; il se remarque comme l'addition ou somme bâtit des segments de lignes droites et la soustraction ou il soustrait deconstruye le segment de ligne droite.

N'il toujours se peut réaliser une il soustrait entre des nombres naturels, en raison de que n'il toujours s'accomplit que le nombre à celui que se lui soustrait l'autre, est majeur.

Il se peut réaliser, 20 - 5 = 15; en étant 20 le minuendo et 5 le sustraendo; mais ne 5-20; la raison est que le résultat, -15, n'est pas dedans de l'ensemble des nombres naturels.

La somme et la multiplication de nombres naturels ils sont des opérations conmutativas et associatives. C'est-à-dire:

• L'ordre des nombres ne change pas le résultat, à+b = b+à et à×b = b×à (propriété conmutativa)
• Pour ajouter (ou multiplier) trois ou plus nombres naturels, il ne faut pas les grouper d'aucune façon spécifique puisque (à+b)+c=à+(b+c) (propriété associative). Ceci est ce que il donne senti à des expressions comme à+b+c.

La somme et multiplication sont compatible grâce à la propriété distributiva, puisque

Erreur math (erreur lexicale): À\times(b+c)=(à\times b)+(à\times c).

Propriétés des nombres naturels

Les nombres naturels sont totalement rangés. La relation de mandat se peut redéfinir j'ai pris: Erreur math (erreur lexicale): à\leq b

si et seulement si existe un autre nombre naturel c qu'accomplit Erreur math (erreur lexicale): à+c=b

. Cet ordre est compatible avec toutes les opérations arithmétiques puisque si Erreur math (erreur lexicale): à , b et c sont des nombres naturels et Erreur math (erreur lexicale): à\leq b , alors s'accomplit:

Erreur math (erreur lexicale): à+c\leq b+c

Erreur math (erreur lexicale): à\times c\leq b\times c

Une autre forme de définir dite relation est en utilisant la construction de par cardinales se doit Erreur math (erreur lexicale): à\leq b

si donnés deux représentants Erreur math (erreur lexicale): À
et B de Erreur math (erreur lexicale): à
et b respectivement existe une application Erreur math (erreur lexicale): f \colon À \to B \,
inyectiva.Il se démontre facilement que cette relation est de mandat et il ne dépend pas des représentants Erreur math (erreur lexicale): À
et B choisis.

Une propriété importante de l'ensemble des nombres naturels est qu'il est un ensemble bien rangé: n'importe quel subconjunto des nombres naturels a un élément minime. En fait, n'importe quel ensemble À est isomorfo au des nombres naturels sinon est vide, est totalement ordonné par et accomplit:

1. Pour n'importe quel élément à de À existe b en À tel que à < b
2. N'importe quel subconjunto ne vide de À a un élément minime

Dans les nombres naturels il existe le algoritmo de la division. Donnés deux nombres naturels à et b, si b≠ 0 , pouvons trouver autres deux nombres naturels q et r, dénommés cociente et reste respectivement, tels que

Erreur math (erreur lexicale): À = (b\times q) + r

    et    r < b.

Les nombres q et r sont unívocamente déterminés par à et b.

Autres propriétés autres plus complexes des nombres naturels, comme la distribution des nombres premiers par exemple, sont étudiées par la théorie de nombres.

Usage des nombres naturels

Les nombres naturels, sont usés pour deux propos fondamentalement: pour décrire la position d'un élément dans une séquence rangée, comme se généralise avec le concept de ordinal, et pour préciser la taille d'un ensemble finito, que à son tour se généralise dans le concept de [cardinal]. Dans le monde du finito, ces deux concepts sont coïncidents: les ordinales finitos sont égaux à N ainsi que les cardinales finitos. Lorsque nous nous mouvons au-delà du finito, les deux concepts sont différents.

Tu indexes

des Notes

Bibliografía

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Voyez-vous aussi

Nombres Complexes Réels Rationnels Entiers Naturels Premiers Composés Zéro Négatif Fraccionarios Fraction propre Fraction impropia Irracionales Algebraicos Trascendentes Imaginaires

Modèle:ORDONNER:Numero naturelleckb:ژمارەی سروشتیdonne:Naturligt telle:Φυσικός αριθμόςj'ai:מספר טבעיallez:Bilangan aslile:ຈຳນວນທຳມະຊາດj'ai vu:Số tự nhiênje:Nọ́mbà àdábáyé