Poutre

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Flexión Théorique d'une poutre soutenue-articulée soumise à une charge ponctuelle centré F.

En ingénierie et architecture se dénomme poutre à un élément constructif linéaire que travaille principalement à flexión. Dans les poutres la longueur predomina sur les autres deux dimensions et a l'habitude d'être horizontale.

L'effort de flexión provoque tensions de traction et compression, en se produisant les maximales en le cordón inférieur et en le cordón supérieur respectivement, lesquelles se calculent en liant le moment flector et le deuxième moment d'inertie. Dans les zones proches aux soutiens se produisent des efforts coupants ou punzonamiento. ils aussi peuvent se produire des tensions par torsión, surtout dans les poutres que forment le périmètre extérieur d'un forgé. Estructuralmente Le comportement d'une poutre s'étudie moyennant un modèle de prisme mécanicien.

Théorie de poutres d'Euler-Bernoulli

Schéma de déformation d'une poutre qu'illustre la différence entre la théorie de Tymochenko et la théorie d'Euler-Bernoulli: en la première θ_i et dw/dx_i n'ont pas nécessairement que coïncider, alors qu'en la deuxième ils sont égales.

La théorie de poutres est une part de la résistance de matériels que permet le calcul d'efforts et déformations en des poutres. Si bien les poutres réelles sont solides deformables, en théorie de poutres se font certaines simplifications grâce à celles que ils se peuvent calculer environ les tensions, déplacements et efforts dans les poutres comme si fussent des éléments unidimensionales.

Les débuts de la théorie de poutres se remontent au siècle XVIII, travaux qui ont été entamés par Leonhard Euler et Daniel Bernoulli. Pour l'étude de poutres s'envisage un système de coordenadas en que l'axe X est toujours tangente au axe baricéntrico de la poutre, et les axes Et et Z coïncident avec les axes principaux d'inertie. Les suppositions basiques de la théorie de poutres pour la flexión simple d'une poutre que flecte dans le plan XY sont:

Hypothèse de comportement elástico. Le matériel de la poutre est elástico linéaire, avec module d'Young Et et coefficient de Poisson despreciable.
Hypothèse de la flèche verticale. Dans chaque point le déplacement vertical seulement dépend de x: ou_et(x, et) = w(x).
Hypothèse de la fibre neutra. Les points de la fibre neutra seulement souffrent déplacement vertical et virement: ou_x(x, 0) = 0.
La tension perpendicular à la fibre neutra s'annule: σ_yy= 0.
Hypothèse de Bernouilli. Les sections plates initialement perpendiculares à l'axe de la poutre, continuent à être perpendiculares à l'axe de la poutre une fois curvado.

Les hypothèses (1)-(4) ensemble définissent la théorie de poutres de Tymochenko. La théorie d'Euler-Bernouilli est une simplification de la théorie antérieure, au s'accepter la dernière hypothèse comme exacte (lorsqu'en des poutres réelles est seulement environ certaine). L'ensemble d'hypothèse (1)-(5) porte à la suivante hypothèse cinemática sur les déplacements:

$ou_x(x,et) = -et\theta_z(x)= -et\frac{dv}{dx} \qquad ou_et(x,et) = v(x)$

Déformations et tensions en des poutres

Article principal: Pentes et déformations en des poutres

Si se calculent les composants du tensor de déformations à partir de ces déplacements s'arrive à:

$\varepsilon_{xx} = \frac{\partial ou_x}{\partial x} = -et\frac{d^2 v}{dx^2} \qquad \varepsilon_{yy} = \frac{\partial ou_et}{\partial et} = 0 \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial ou_x}{\partial et}+\frac{\partial ou_et}{\partial x} \right ) = {0}$

À partir de ces déformations se peuvent obtenir les tensions en usant les équations de Lamé-Hooke, en assumant $σ y y = 0,σ z z = 0$ :

$\sigma_{xx}=-Et et\frac{d^2 v}{dx^2} \qquad \sigma_{xy} = {0}$

Où Et est le module d'elasticidad longitudinal, ou module d'Young, et G le module d'elasticidad transversal. Il est clair que la théorie d'Euler-Bernoulli est incapable d'approcher l'énergie de deformacion tangencial, pour telle fin debera se faire appel à la théorie de Tymochenko en laquelle:

$\varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left (\frac{dv}{dx}-\theta_z \right)$

Efforts internes en des poutres

à partir des résultats antérieurs et des équations d'equivalencia peuvent s'obtenir simplement le effort normal, le effort coupant et le moment flector à celui que est soumise une section d'une poutre soumise à flexión simple dans la théorie d'Euler-Bernouilli:

$N_x = \int_\Sigma \sigma_{xx} dydz = 0 \qquad V_et = \int_\Sigma \sigma_{xy} dydz = 2GA \frac{dw}{dx} \qquad M_z = \int_\Sigma et\sigma_{xx} dydz = EI_z\frac{d^2 w}{dx^2}$

Où: À zone de la section transversal, I_z le moment d'inertie selon l'axe à l'égard du comme se produit la flexión. La dernière de ces équations est précisément l'équation de la courbe elástica, une des équations basiques de la théorie de poutres que lie les efforts internes avec le champ de déplacements verticaux.

Équations d'équilibre

Les équations d'équilibre pour une poutre sont l'application des équations de l'estática à un tronçon de poutre en équilibre. Les forces qui interviennent sur le tronçon ils seraient la charge extérieure appliquée sur la poutre et les forces coupantes actuantes sur les sections extrêmes que delimitan le tronçon. Si le tronçon est en équilibre cela implique que la somme de forces verticales doit être zéro, et puis la somme de moments de force à la fibre neutra doit être zéro dans la direction tangente à la fibre neutra. Ces deux conditions seulement se peuvent accomplir si la variation de effort coupant et moment flector sont liée avec la charge verticale par unité de longueur moyennant:

$\frac{\partial V_et(x)}{\partial x} = p_et(x) \qquad \frac{\partial M_z(x)}{\partial x} = V_et(x)$

Calcul de tensions en des poutres

Le calcul de tensions en des poutres généralement requiert connaître la variation des efforts internes et à partir d'ils appliquer la formule appropriée selon la poutre soit soumise à flexión , torsión, effort normal ou effort coupant. Le tensor tension d'une poutre vient donné en fonction des efforts internes par:

$[T]_{xyz} = \begin{bmatrix} \sigma & \tau_{et} & \tau_{z} \\ \tau_{et} & 0 & 0 \\ \tau_{z} & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Où les tensions peuvent se déterminer, environ, à partir des efforts internes. Si il s'envisage un système de axes principaux d'inertie sur la poutre, censé prisme mécanicien, les tensions associées à l'extension, flexión, coupante et torsión résultent être:

Erreur math (erreur lexicale): \sigma = \frac{N_x}{À} + \frac{M_yz}{I_et} - \frac{M_zy}{I_z} + \omega \frac{B_\omega}{I_\omega}

$\tau_{et} = \tau_{et,cort} + \tau_{et,tor} \qquad \tau_{z} = \tau_{z,cort} + \tau_{z,tor}$

Où:

$\sigma; \tau_{i,tor}, \tau_{i,cort}\;$ sont les tensions sur la section transversal: tension normale ou perpendicular, et les tensions tangenciales de torsión et coupante.

$N_X; M_et, M_z; B_\omega\;$ , sont les efforts internes: effort axial, moments flectores et bimomento associé à la torsión.

Erreur math (erreur lexicale): À; I_et, I_z; \omega, I_\omega\;

, sont des propriétés de la section transversal de la poutre: zone, deuxièmes moments de zone (ou moments d'inertie), alabeo et moment d'alabeo. Les tensions maximales sur une section transversal n'importe qui de la poutre peuvent à son tour être calculées en des termes de ces composants du tensor tension:

$\sigma_{I} = \frac{\sigma}{2} + \sqrt{\frac{\sigma^2}{4}+(\tau_et^2+\tau_z^2)} \qquad \sigma_{III} = \frac{\sigma}{2} - \sqrt{\frac{\sigma^2}{4}+(\tau_et^2+\tau_z^2)}$

$\sigma_{max} = \mbox{max} (|\sigma_{I}|,|\sigma_{III}|) \qquad \tau_{max} = \frac{\sigma_{I}-\sigma_{III}}{2}$

En des poutres métalliques fréquemment s'use comme critère de faute celui qui dans quelque point la tension équivalente de Von Mises surpasse une certaine tension dernière définie à partir de la limite elástico, dans ce cas, le critère de faute se peut écrire comme:

$\sigma_{VM} = \sqrt{\frac{(\sigma_{I}-\sigma_{II})^2+(\sigma_{II}-\sigma_{III})^2 +(\sigma_{III}-\sigma_{I})^2}{2}} = \sqrt{\sigma^2+3(\tau_et^2+\tau_z^2)} > \sigma_ou$

Matériels utilisés

Fichier:POUTRE.jpg

Construction de poutres de béton pretensado à Alcalá la Réelle, Jaén, l'Espagne.

Soutien d'une poutre de pont que permet le virement mais il ne permet pas des déplacements.

Tout au long de l'histoire, les poutres se sont réalisées de divers matériels; le plus idoine des matériels traditionnels a été le bois, puisqu'il peut supporter des grands efforts de traction, ce que n'arrive pas avec autres matériels traditionnels pétreos et cerámicos, comme la brique.

Le bois pourtant est matériel ortotrópico que présente des différentes rigidités et des résistances selon les efforts appliqués soient parallèles à la fibre du bois ou transversales. Par cette raison, le calcul moderne d'éléments de bois requiert sous des sollicitations complexes une étude une plus complète que théorie la de Navier-Bernouilli, antérieurement exposée.

À partir de la révolution industrielle, les poutres ils s'ont fabriqués en acier, qu'est un matériel isótropo à celui que peut s'appliquer directement la théorie de poutres d'Euler-Bernouilli. L'acier a l'avantage d'être un matériel avec une relation résistance/je pèse supérieure à la du béton, outre que peut résister autant des tractions comme des compressions beaucoup plus élevées.

À partir de la deuxième moitié du siècle XIX, en architecture, s'est venu en usant béton armé et quelque chose plus tardivement le pretensado et le postensado. Ces matériels requièrent pour son calcul une théorie une plus complexe que la théorie d'Euler-Bernouilli.