Triangle

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Un triangle, en geometría, est un polygone de trois côtés déterminé par trois segments de trois ligne droites qu'ils se coupent, dénommés côtés (Euclide); ou trois points n'alignés appelés vértices. il aussi peut se déterminer un triangle par n'importe qui autres trois éléments relatifs à il, comme par exemple un angle et deux moyennes; ou un côté, une hauteur et une moyenne.

Si il est contenu dans une surface plate se dénomme triangle, ou trígono, un nom moins commun pour ce type de polygones. Si il est contenu dans une surface sphérique se dénomme triangle sphérique. Représenté, en cartografía, sur la surface terrestre, s'appelle triangle geodésico.

Sommaire 1 Convention d'écriture 2 Classement des triangles 2.1 Par la longueur de ses côtés 2.2 Par l'ampleur de ses angles 2.3 Autres dénominations 3 Cohérence de triangles 3.1 Postulados De cohérence 4 Ressemblance de triangles 4.1 Ressemblances de triangles rectángulos 5 Propriétés des triangles 6 Centres du triangle 7 Calcul d'éléments dans un triangle 8 Éléments notables d'un triangle 8.1 Moyennes et centre de gravité 8.2 Mediatrices Et cercle circunscrito 8.3 Bisectriz Et cercle inscrit 8.4 Hauteurs et ortocentro 8.5 Ligne droite et cercle d'Euler 9 Dans l'espace 10 Histoire 11 Voyez-vous aussi 12 Notes 13 Références 14 Tu raccordes externes

Convention d'écriture

Les points principaux d'une figure géométrique, comme les vértices d'un polygone, ont l'habitude d'être désignés par des lettres latines majuscules: À, B, C, ...

Un triangle se nomme alors comme n'importe quel autre polygone, en nommant successivement ses vértices, par exemple ABC. L'ordre de citación des vértices est irrelevante, parce que tous les segments desquels ces vértices sont les bouts, ils sont les côtés du triangle.

Les côtés du triangle, sont appelés, comme tous les segments, par ses bouts: AB, BC et AC, dans notre exemple.

Pour nommer la longueur d'un côté, par le général s'utilise le nom du vértice opposé, converti à minuscule latine: Erreur math (erreur lexicale): à pour BC, b pour AC, c pour AB.

La notation générale pour l'angle entre deux segments OP et OQ que partagent le bout Ou il est

nous aussi pouvons utiliser une lettre minuscule, grecque le plus souvent, couronnée par un accent circunflejo (en rigueur, les angles doivent être désignés par des lettres majuscules et sa mesure par minuscules, mais souvent s'utilisent les mêmes noms pour les deux afin de simplifier la notation). Dans le cas d'un triangle, l'angle entre deux côtés encore peut, par tolérance et en absence d'ambigüedad, être désigné par le nom du vértice commun, couronné par un accent circunflejo. , dans notre exemple, nous pouvons remarquer les angles:

Erreur math (erreur lexicale): \widehat{\alpha} = \widehat{à} = \widehat{À} = \widehat{BAC} ,\ \widehat{\beta} = \widehat{b} = \widehat{B} = \widehat{ABC} \ et\ \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB} . \,

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Classement des triangles

Les triangles se peuvent classer par la longueur de ses côtés ou par l'ampleur de ses angles.

Par la longueur de ses côtés

Par la longueur de ses côtés, les triangles ils se classent en:

• Triangle equilátero: si ses trois côtés ont la même longueur (les trois angles internes mesurent 60 degrés ou radianes.)
• Triangle isósceles: si il a deux côtés de la même longueur. Les angles qui s'opposent à ces côtés ont la même mesure.
• Triangle escaleno: si tous ses côtés ont des longueurs différentes. Dans un triangle escaleno n'y a pas des angles avec la même mesure.

	Fichier:Triangle.Isosceles.svg
Equilátero	Isósceles	Escaleno

Par l'ampleur de ses angles

Par l'ampleur de ses angles, les triangles ils se classent en:

• Triangle rectángulo: si il a un angle intérieur droit (90°). Aux deux côtés qui conforment l'angle il droit se leur dénomme catetos et à l'autre côté hipotenusa.
• Triangle obtusángulo: si un de ses angles est obtuso (majeur de 90°); les autres deux sont aigu (mineur de 90°).
• Triangle acutángulo: lorsque ses trois angles sont moindres à 90°; le triangle equilátero est un cas particulier de triangle acutángulo.

Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo
	Oblicuángulos

Il s'appelle triangle oblicuángulo lorsque ne a pas un angle intérieur droit (90°). Les triangles obtusángulos et acutángulos sont oblicuángulos.

Autres dénominations

En plus, ils ont ces dénominations et caractéristiques:

Les triangles acutángulos peuvent être:

• Triangle acutángulo isósceles: avec tous les angles aigus, en étant deux égaux, et l'autre divers, ce triangle est symétrique en ce qui concerne son hauteur différente.

• Triangle acutángulo escaleno: avec tous ses angles aigus et tous différents, il n'a pas des axes de simetría.

Les triangles rectángulos peuvent être:

• Triangle rectángulo isósceles: avec un angulo droit et deux aigus égaux (de 45° chacun), deux côtés sont égaux et l'autre différent, naturellement les côtés égaux sont les catetos, et le différent est l'hipotenusa, est symétrique à l'égard de l'hauteur que passe par l'angle droit jusqu'à l'hipotenusa.

• Triangle rectángulo escaleno: il a un angle droit et tous ses côtés et angles sont différents.

Les triangles obtusángulos sont:

• Triangle obtusángulo isósceles: il a un angle obtuso, et deux côtés égaux qui sont ceux qui partent de l'angle obtuso, l'autre côté est majeur que ces deux.

• Triangle obtusángulo escaleno: il a un angle obtuso et tous ses côtés sont différents.

Triangle	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo	Fichier:Triangle equilátero.svg	Fichier:Triangle acutángulo isósceles.svg	Fichier:Triangle acutángulo escaleno.svg
rectángulo		Fichier:Triangle rectángulo isósceles.svg	Fichier:Triangle rectángulo escaleno.svg
obtusángulo		Fichier:Triangle obtusángulo isósceles.svg	Fichier:Triangle obtusángulo escaleno.svg

Cohérence de triangles

Deux triangles sont congruents si il y a une correspondance entre ses vértices de telle sorte que l'angle du vértice et les côtés qui le composent soient congruents avec les de l'autre triangle.

Postulados De cohérence

Triangle	Postulado
	Postulado LAL (Côté, Angle, Côté) Deux côtés dans un triangle ont la même longueur que deux côtés dans l'autre triangle, et les angles compris entre ces côtés ayez aussi la même mesure.
Fichier:Postulado AILE.svg	Postulado AILE (Angle, Côté, Angle) Deux angles intérieurs et le côté compris entre ils, dans un triangle, ont la même mesure et longueur, respectivement avec les de l'autre triangle. (Le côté compris pour une paire d'angles est le côté qu'il est commun à ils).
Fichier:Postulado LLL.svg	Postulado LLL (Côté, Côté, Côté) Chaque côté d'un triangle a la même longueur qu'un côté correspondant de l'autre triangle.
	Postulado AAL (Angle, Angle, Côté) Deux angles et un côté correspondant ne compris entre les angles, dans un triangle, ont la même mesure et longueur, respectivement, que les de l'autre triangle.

Ressemblance de triangles

Deux triangles sont semblables si ses angles ont la même ampleur et les côtés opposés de ces angles sont proportionnels.

• Critère aa (angle, angle). Si deux de ses angles ils sont semblable
• Critère lal (côté, angle, côté). Si deux de ses côtés ils sont proportionnel et l'angle compris entre ils est congruent.
• Critère lll (côté, côté, côté). Si ses trois côtés sont proportionnels.

Ressemblances de triangles rectángulos

Deux triangles rectángulos sont semblables si il accomplit avec au moins un des critères suivants:

• Si un a un angle aigu d'égale ampleur qu'un angle aigu de l'autre.
• Si un a les deux catetos proportionnels avec les de l'autre.
• Si un a un cateto et l'hipotenusa proportionnelles avec les de l'autre.

Propriétés des triangles

Un triangle peut être défini comme un polygone de trois côtés, ou comme un polygone avec trois vértices.

Après le point et le segment, le triangle est le polygone le plus simple. Il est l'unique que n'a pas diagonal. Dans l'espace, trois points ils définissent un triangle (et un plan). Par le contraire, si quatre points d'un même plan ils forment un cuadrilátero, quatre points que ne soient pas dans le même plan ils ne définissent pas un polygone, mais un tetraedro

Par ailleurs, chaque polygone peut être divisé dans un nombre finito de triangles que se forment avec une triangulación du polygone. Le nombre minime de triangles nécessaires pour cette division est n − 2, où n est le nombre de côtés du polygone. L'étude des triangles est fondamentale pour l'étude d'autres polygones, par exemple pour la démonstration du Teorema de Pick.

• Les trois angles internes d'un triangle mesurent 180° ce que équivaut à π radianes, en geometría euclidiana.^[1]

Euclide avait démontré ce résultat dans ses Éléments (proposition I-32) de la suivante façon: nous traçons la parallèle à la ligne (AB) que passe par C. En étant parallèles, cette ligne droite et la ligne droite (AB) forment avec la ligne droite (AC) angles égaux, codificados en couleur rouge dans la figure de à le côté (angles alternes-internes). De la même manière, les angles codificados en couleur bleue sont égales (angles correspondants). D'autre part, la somme des trois angles du vértice C est l'angle llano. Donc la somme des mesures de l'angle de couleur rouge, de l'angle vert et du bleu est un angle de 180 ° (ou π radianes). La somme des angles d'un triangle est 180 °.

Cette propriété est le résultat de la geometría euclidiana. il ne se vérifie pas en général en la geometría n'euclidiana.

• La somme des longueurs de deux de ses côtés est toujours majeur que la longueur du troisième côté.

• La valeur de la parallèle moyenne d'un triangle (ligne droite qui unit deux points moyens de deux côtés) est égal à la moitié du côté parallèle.

• Pour n'importe quel triangle se vérifie le Teorema du sein qu'établit: «Les côtés d'un triangle sont proportionnels aux seins des angles opposés»:

Erreur math (erreur lexicale): \frac{à}{\operatorname{sen}(\alpha\,)} = \frac{b}{\operatorname{sen}(\beta\,)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(\gamma\,)}

• Pour n'importe quel triangle se vérifie le Teorema du coseno que démontre que «Le cadré d'un côté est égal à la somme des cadrés des autres côtés moins le double du produit de ces côtés par le coseno de l'angle compris»:

Erreur math (erreur lexicale): À^2=b^2+c^2-2bc \cdot cos(\alpha\,)\,

Erreur math (erreur lexicale): b^2=à^2+c^2-2ac \cdot \cos(\beta\,)\,

Erreur math (erreur lexicale): c^2=à^2+b^2-2ab \cdot \cos(\gamma\,)\,

• Pour n'importe quel triangle rectángulo, dont catetos mesurent à et b, et dont hipotenusa mesurez c, se vérifie le Teorema de Pythagore:

Erreur math (erreur lexicale): À^2 + b^2 = c^2 \,

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Centres du triangle

Geométricamente se peuvent définir divers centres dans un triangle:

• Baricentro: Il est le point qui se trouve dans la intersection de le moyennes, et équivaut au centre de gravité
• Circuncentro: il est le centre de la circunferencia circunscrita, celle-là qui passe par les trois vértices du triangle. Il se trouve dans la intersection des mediatrices des côtés. En plus, la circunferencia circunscrita contient les points d'intersection de la mediatriz de chaque côté avec les bisectrices que passent par le vértice opposé.
• Incentro: Il est le centre de la circunferencia inscrite, celle-là qui est tangente aux côtés du triangle. Il se trouve dans la intersection des bisectrices des angles.
• Ortocentro: Il est le point qui se trouve dans la intersection des hauteurs.
• ExincentroS: ils sont les centres des circunferencias exinscritas, celles-là qui sont tangentes aux côtés du triangle. Il se trouve dans la intersection d'une bisectriz intérieure et deux bisectrices extérieurs des angles.

L'unique cas en que les quatre premiers centres ils coïncident dans un unique point est dans un triangle equilátero.

Calcul d'éléments dans un triangle

Pour résoudre triangles nous utilisons généralement le Teorema de Pythagore lorsque sont des triangles rectángulos, ou les Teoremas du sein et du coseno.

Éléments notables d'un triangle

Moyennes et centre de gravité

Se lama moyenne d'un triangle chacune des trois lignes qui passent par un vértice du triangle et par le point moyen du côté opposé au vértice.

Chacune des trois moyennes ils divisent le triangle en deux triangles de zones égales.

Les trois moyennes d'un triangle sont concurrentes. Son point d'intersection G est appelé centre de gravité du triangle.

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Mediatrices Et cercle circunscrito

Il s'appelle mediatriz d'un triangle à chacune des mediatrices de ses côtés [AB], [AC] et [BC].

Les trois mediatrices d'un triangle sont concurrentes dans un point Ω equidistante des trois vértices. Le cercle de centre Ω et radio Erreur math (erreur lexicale): \Omega À que passe par chacun des trois vértices du triangle est le cercle circunscrito au triangle.

Notes:

• Un triangle est obtusángulo si et seulement si les bisectrices se coupent en dehors du triangle.
• Un triangle est acutángulo si et seulement si les bisectrices se coupent dedans du triangle.

Propriété:

• ABC est un triangle rectángulo en Erreur math (erreur lexicale): À

si et seulement si le centre de son cercle circunscrito est le centre de [BC].

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Bisectriz Et cercle inscrit

Les bisectrices d'un triangle sont les trois bisectrizest de ses angles internes.

Les trois bisectrices d'un triangle sont concurrentes dans un point Ou. Le cercle inscrit du triangle est l'unique cercle tangente aux trois côtés du triangle et est totalement compris dans le triangle. Il a par point central Ou, qu'il est donc le centre du cercle inscrit dans le triangle.

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Hauteurs et ortocentro

S'appelle hauteur d'un triangle à chacune des trois lignes qui passent par un vértice du triangle et sont perpendiculares au visage opposé au vértice. L'intersection de l'hauteur et le côté opposé se dénomme «pied» de l'hauteur.

Ces 3 hauteurs se coupent dans un point unique H appelé ortocentro du triangle.

Notes:

• Un triangle est rectángulo si et seulement si son ortocentro est un des vértices du triangle
• Un triangle est obtusángulo si et seulement si son ortocentro se trouve en dehors du triangle
• Un triangle est acutángulo si et seulement si son ortocentro est dedans du triangle

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Ligne droite et cercle d'Euler

Les trois points H, G et Ω sont alignés dans une ligne ligne droite appelée ligne droite d'Euler du triangle et vérifie la relation d'Euler:

Par ailleurs, les points moyens des trois côtés, les trois pieds des hauteurs et les points moyens des segments [AH], [BH] et [CH] sont dans un même cercle appelé cercle de Euler ou cercle des neuf points du triangle.

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Dans l'espace

[[Philae:Oktaeder-Animation.gif|thumb|200 px|left|Octaedro; poliedro D'huit visages triángulares.]] [[Philae:Ikosaeder-Animation.gif|thumb|200 px|Icosaedro; poliedro De vingt visages triangulares]] Le triangle est la forme des visages de beaucoup de poliedros réguliers:tetraedro (quatre visages qui sont triangles equiláteros, est la pyramide de base triangular), octaedro (huit visages, les pyramides de l'Égypte sont moyen-octaedros), icosaedro (vingt visages) ...

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Histoire

Aucun document mathématique du Ancien Empire est arrivé jusqu'à nous. Mais l'architecture monumentale de la (III Dinastía et la IV Dinastía de l'Égypte est une preuve notable de que les égyptiens de cette époque avaient des connaissances relativement sofisticados de geometría, spécialement dans l'étude des triangles.

[[Image:triangle-R51-Papyrus-rhind.jpg|right|thumb|Figure du triangle représentée dans le problème R51 du [[papiro Rhind[["

Le calcul de la surface de cette figure s'analyse dans les problèmes R51 du papiro Rhind, M4, M7 et M17 du papiro de Moscou, que datent tous du Empire Moyen. Le problème R51 constitue dans l'histoire mondiale des mathématiques, la première attestation écrit que traite du calcul de la surface d'un triangle.

Enunciado Du problème R51 du papiro Rhind

^[2]

Modèle:Cite

Le terme mryt signifie probablement l'hauteur ou le côté. Pourtant, la formule utilisée pour calculer le zone fait penser dans l'interprétation en faveur de la première solution.^[3]L'écrive il prenait la moitié de la base du triangle et il calculait le zone du rectángulo formé par ce côté et l'hauteur; c'est-à-dire

Erreur math (erreur lexicale): À = \frac{base}{2}{mryt}

équivalente à la formule générale utilisée dans nos jours:

Le fait de que un triangle de côtés 3-4-5 est rectángulo aussi était connu par les anciens égyptiens et mesopotámicos.

Euclide, dans le Livre I de ses Éléments , vers le 300 avant de Christ, enunció la propriété de la somme des angles du triangle.

Voyez-vous aussi

• Cohérence de triangles
• Triangles semblables
• Hauteur d'un triangle
• Vértice
• Teorema de Pythagore
• Teorema de Tels
• Teorema du cateto
• Teorema du sein
• Teorema du coseno
• Ligne droite d'Euler
• Annexe:Équations de figures géométriques
• Formule d'Herón

Types de triangles:

• Triangle equilátero, si a les trois angles et les trois côtés égaux;
• triangle rectángulo, si a un de ses angles droit;
• triangle sacré égyptien, un triangle rectángulo dont les côtés gardent la relation 3, 4, 5;
• triangle sphérique, si est contenu dans une surface sphérique;
• triangle Bézier, une surface géométrique dont les côtés sont des courbes de Béizer;
• triangle de Sierpinski, un fractal que se peut bâtir à partir d'un triangle.

Notes

Références

• Tout ou part de cet article a été créée à partir de la traduction partiel de l'article Triangle de la Wikipédia en français, sous licence Creative Commons Partager Pareil 3.0. Et GFDL.

Tu raccordes externes

Commons

• Wikimedia Commons Héberge contenu multimédia sur triangles.

Wikcionario

• Fichier:Wiktionary-logo-est.png Wikcionario a définitions pour triangle.

arz:مثلثckb:سێگۆشە il a scié:Trianguludonne:Trekantle:Τρίγωνοj'ai:משולשallez:Segitigale:ຮູບສາມແຈson:Juru tiluai vu:Tam giácje:Anígunmẹ́ta