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L'axioma d'union, un des axiomas de la théorie de Zermelo-Fraenkel, établit que, donnée n'importe quelle collection (ensemble) d'ensembles C, existe un ensemble, représenté par et appelée union de C, que contient tous les éléments de chaque ensemble de C. Ceci est,

Erreur math (erreur lexicale): \forall x\exists et\forall à (à\in et\ \leftrightarrow\ \exists z(z\in x\wedge à\in z)).

Conséquences de l'axioma de paires en ZF

Si Erreur math (erreur lexicale): À

est une collection d'ensembles, alors l'union  contient ceux-là et seulement ces éléments qui sont dans quelque ensemble de Erreur math (erreur lexicale): À

. Si Erreur math (erreur lexicale): À=\{x_1,x_2\ldots x_n\} , un ensemble avec n éléments, alors est commun écrire

Pour représenter l'union des ensembles de Erreur math (erreur lexicale): À . Il est facile voir que

Erreur math (erreur lexicale): À\in x\cup et\ \leftrightarrow\ à\in x\vee à\in et ,

De sorte que l'axioma d'union et l'axioma de paires garantissent l'existence de l'ensemble Erreur math (erreur lexicale): x\cup et=\{à\mid à\in x\vee à\in et\}

pour n'importe qui conjoints x et et, un fait que ne peut pas se déduire simplement du schéma de spécification je joins avec les axiomas restants. À différence de l'union, l'intersection d'ensembles est déductible à partir de l'axioma de paires et le schéma de spécification. Effectivement, donc il se définit l'ensemble  moyennant

Erreur math (erreur lexicale): À\in x\cap et\ \leftrightarrow\ à\in x\wedge à\in et,

Et par tellement existe. Plus général, se définit l'ensemble

Erreur math (erreur lexicale): \bigcap À=\{à\mid \forall et(et\in À\ \rightarrow\ à\in et\}.